A importância do estudo de função não é restrita apenas aos interesses da matemática, mas colocado em prática outras ciências, como a física e a química.
Na matemática, o estudo de função é dividido basicamente em:
►Características, tipos e elementos de uma função.
►Função do primeiro grau.
►Função do segundo grau.
Nem sempre percebemos, mas estamos em contato com as funções no nosso dia-a-dia, por exemplo:
Quando assistimos ou lemos um jornal, muitas vezes nos deparamos com um gráfico, que nada mais é que uma relação, comparação de duas grandezas ou até mesmo uma função, mas representada graficamente.
Para que esse gráfico tome forma é necessário que essa relação, comparação seja representada em uma função na forma algébrica.
Para dar início ao estudo de função é necessário que tenha o conhecimento de equações, pois todo o desenvolvimento algébrico de uma função é resolvido através de equações.
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Função do 1° GRAU
Uma função do 1º grau pode ser chamada de função afim. Pra que uma função seja considerada afim ela terá que assumir certas características, como: Toda função do 1º grau deve ser dos reais para os reais, definida pela fórmula f(x) = ax + b, sendo que a deve pertencer ao conjunto dos reais menos o zero e que b deve pertencer ao conjunto dos reais.
Então, podemos dizer que a definição de função do 1º grau é:
f: R→ R definida por f(x) = ax + b, com a 
R* e b R.
Veja alguns exemplos de Função afim.
f(x) = 2x + 1 ; a = 2 e b = 1
f(x) = - 5x – 1 ; a = -5 e b = -1
f(x) = x ; a = 1 e b = 0
f(x) = - 1 x + 5 ; a = -1 e b = 5
2 2
Toda função a do 1º grau também terá domínio, imagem e contradomínio.
A função do 1º grau f(x) = 2x – 3 pode ser representada por y = 2x – 3. Para acharmos o seu domínio e contradomínio, devemos em primeiro estipular valores para x.
Vamos dizer que x = -2 ; -1 ; 0 ; 1. Para cada valor de x teremos um valor em y, veja:
x = -2 x = - 1 x = 0
y = 2 . (-2) – 3 y = 2 . (-1) – 3 y = 2 . 0 - 3
y = - 4 – 3 y = -2 – 3 y = -3
y = - 7 y = - 5
x = 1
y = 2 . 1 – 3
y = 2 – 3
y = -1
Os valores de x são o domínio e a imagem e o contradomínio são os valores de y. Então, podemos dizer que Im = R.Estudo dos Sinais
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Função do 2°GRAU
Raízes
Raízes de f(x) = ax2 + bx + c são os valores de x que satisfazem a equação de 2º grau.
ax2 + bx + c = 0
Como você sabe, as raízes de f(x) = ax2 + bx + c podem ser calculadas pela conhecida fórmula de Bhaskara.
O número de raízes reais da função
F(x) = ax2 + bx + c
É determinado pelo discriminante Δ. Há três casos a considerar.
1º) Δ > 0 – A função possui duas raízes reais e distintas, isto é, diferentes.
2º) Δ = 0 – A função possui raízes reais e iguais. Nesse caso, também dizemos que a função possui uma raiz dupla.
3º) Δ < 0 – A função não possui raízes reais.
Soma e produto das raízes
Seja a equação
ax2 + bx + c = 0
Se Δ ≥ 0, a soma das raízes dessa equação é dada por - 
e o produto das raízes por 
.
De fato, sendo α e β as raízes da equação, temos:
Soma das raízes
Produto das raízes
Efetuando a multiplicação, temos:
Substituindo Δ por b2 – 4ac, vem:
E finalmente,
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Gráfico da Função do 2° GRAU
O gráfico da função definida de 
em por:
F(x) = ax2 + bx +c (a ≠ 0)
É uma curva chamada parábola.
Dependendo do sinal do coeficiente a, a parábola pode ter sua concavidade voltada para cima ( a > 0) ou voltada para baixo (a < 0), conforme mostram as figuras.
A parábola possui um eixo de simetria, que a intercepta num ponto chamado vértice.
Você já sabe que o gráfico de uma função qualquer corta o eixo Ox nas raízes da função. Desse modo, dependendo do discriminante Δ, há três situações possíveis:
Δ > 0 – A parábola corta o eixo Ox em dois pontos.
Δ = 0 – A parábola tangencia o eixo Ox.
Δ < 0 – A parábola não corta o eixo Ox.
Levando em conta o sinal do coeficiente a e o discriminante Δ, são estas as possibilidades para o gráfico da função de 2º grau:
Pontos notáveis do gráfico
Para construir o gráfico da função de 2º grau, é importante você determinar alguns pontos da parábola.
• Calcule as raízes, se existirem.
• Determine as coordenadas do vértice, as quais são calculadas por:
• Lembre-se de que o gráfico corta o eixo Oy na imagem de 0, isto é, f(0). A ordem desse ponto é o coeficiente c.
F(x) = ax2 + bx + c → f(0) = c
• Além desses pontos, obtenha outros calculando as imagens de valores inteiros de x, que estão em torno da abscissa do vértice.
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