Teorema: Se um triângulo possui os lados medindo a, b e c e o seu perímetro é indicado por 2p=a+b+c, então a área da região triangular será dada por

A = R[p(p-a)(p-b)(p-c)]

onde R[x] é a notação para a raiz quadrada de x>0.

Demonstração: Seja o triângulo com a base a e os outros lados com b e c. Os lados b e c têm projeções ortogonais, indicadas por m e n sobre o lado a.

Tomando h como a medida da altura do triângulo, relativa ao lado a, segue que a área da região triangular será dada por A=a.h/2. Temos a formação de mais dois pequenos triângulos retângulos e com eles, podemos extrair as três relações:

b²=m²+h², c²=n²+h², a=m+n

Subtraindo membro a membro a 2a. relação da 1a. e usando a 3a., obtemos:

b²-c² = m²-n² = (m+n)(m-n) = a(m-n)

assim

m + n = a
m - n = (b²-c²)/a

Somando e subtraindo membro a membro, estas últimas expressões, segue que:

m = (a²+b²-c²)/2a
n = (a²+c²-b²)/2a

Como a+b+c=2p, aparecem as três expressões:

a+b-c = a+b+c-2c = 2p-2c = 2(p-c)
a+c-b = a+b+c-2b = 2p-2b = 2(p-b)
b+c-a = a+b+c-2a = 2p-2a = 2(p-a)

Temos então que

4a²h² = 4a²(b²-m²)
      = 4a²(b+m)(b-m)
      = 4a²[b+(a²+b²-c²)/2ab)][b-(a²+b²-c²)/2ab)]
      = (2ab+a²+b²-c²)(2ab-a²-b²+c²)
      = [(a+b)²-c²][c²-(a-b)²]
      = (a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)
      = 2p.2(p-a).2(p-b).2(p-c)
      = 16p(p-a)(p-b)(p-c)

Como A=a.h/2, então

A² = (1/4)a² h² = p(p-a)(p-b)(p-c)

Extraindo a raiz quadrada, obtemos:

A = R[p(p-a)(p-b)(p-c)]

Exemplo: Para obter a área da região triangular cujos lados medem 35cm, 45cm e 50cm, basta tomar a=35, b=45, c=50, para obter 2p=35+45+50 e desse modo segue que p=65. Assim:

A = R[65(65-35)(65-45)(65-50)] = R[585000] = 764,85cm²

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